Cryptographie classique

Cet ouvrage s'adresse aux professeurs de mathématiques des lycées et collèges, aux candidats du concours de cryptographie Alkindi, et aux lycéens préparant une spécialité scientifique au Bac (la cryptographie est au programme depuis 2016). Il traite de la cryptographie classique : méthodes de chiffrements par substitution, transposition, dictionnaires et combinaisons de celles-ci (chiffrements militaires anciens). Il comporte également une introduction aux chiffrements modernes à clé publique (RSA), aux méthodes de signatures, et aux chiffrements par bloc (DES) avec les fondements d'arithmétique et d'algèbre nécessaires. Le dernier chapitre explique en détail la sécurisation des services internet vis-à-vis des attaques par "Man-In-The-Middle" contre leur chiffrement RSA à clé publique, sécurisation réalisée grâce aux certificats serveurs X509. Il décrit aussi, à l'aide d'exercices, la création de vrais-faux certificats permettant théoriquement à un MITM illégal de déchiffrer du RSA en contournant sa complexité cryptologique. Tous les énoncés et presque tous les corrigés commentés des 29 sujets finaux des concours Alkindi 2016-2020 sont fournis. Pour le Bac, une boîte à outils de programmes Python est proposée aux enseignants afin de faciliter leur création de Travaux Pratiques de cryptographie.

Dans les années 1980, Richard Feynman suggérait qu'un ordinateur fonctionnant selon les règles de la physique quantique pourrait résoudre des problèmes intraitables par un ordinateur classique. Il faudra attendre 2019 pour que Google effectue un calcul sur un prototype de circuit quantique programmable. Cette prouesse, qui remet en question les fondements de la thèse de Church-Turing, a ouvert la voie à nombre de start-up, grandes entreprises du numérique et gouvernements qui s'orientent peu à peu vers cette technologie à laquelle on prédit de larges champs d'application : intelligence artificielle, cryptographie et sécurité, finance, santé. Un travail de grande ampleur s'est enclenché pour comprendre toutes les facettes du calcul quantique, notamment des algorithmes, et relever le défi de ce nouveau tournant technologique.

La théorie des corps occupe une place prépondérante en algèbre générale. Elle est également au coeur de plusieurs autres domaines des mathématiques : géométrie algébrique, théorie des nombres, groupes arithmétiques, cryptographie, théorie des modèles... L'ouvrage que lui consacre Patrice Tauvel comporte une étude exhaustive des extensions algébriques, et, ce qui est moins fréquent, des extensions transcendantes, ainsi qu'une remarquable initiation à la théorie de Galois différentielle. Les corps finis précèdent dans le texte la théorie de Galois classique et lui servent de motivation. Viennent ensuite les constructions par règle et compas et la résolution des équations par radicaux. Enfin, une attention toute particulière est accordée à la théorie des corps ordonnés. Le cours est illustré par plus de 200 exercices, choisis avec soin.

Dans les années 1980, Richard Feynman suggérait qu'un ordinateur fonctionnant selon les règles de la physique quantique pourrait résoudre des problèmes intraitables par un ordinateur classique. Il faudra attendre 2019 pour que Google effectue un calcul sur un prototype de circuit quantique programmable. Cette prouesse, qui remet en question les fondements de la thèse de Church-Turing, a ouvert la voie à nombre de start-up, grandes entreprises du numérique et gouvernements qui s'orientent peu à peu vers cette technologie à laquelle on prédit de larges champs d'application : intelligence artificielle, cryptographie et sécurité, finance, santé. Un travail de grande ampleur s'est enclenché pour comprendre toutes les facettes du calcul quantique, notamment des algorithmes, et relever le défi de ce nouveau tournant technologique.

La théorie des nombres est la branche des mathématiques qui s'intéresse principalement au recensement des nombres. Depuis de nombreuses années, elle est étudiée pour sa beauté et son élégance intrinsèques, notamment parce que plusieurs de ses défis sont si faciles à énoncer que tout le monde peut les comprendre, et pourtant personne n'a jamais été capable de les résoudre. Mais la théorie des nombres présente aussi depuis peu une grande importance pratique dans le domaine de la cryptographie. L'auteur présente les principaux domaines de la théorie classique des nombres, tant anciens que modernes. S'appuyant sur les travaux de plusieurs des plus grands mathématiciens du passé, tels qu'Euclide, Fermat, Euler et Gauss, il situe certains des problèmes les plus intéressants et les plus créatifs dans leur contexte historique.

La théorie des corps occupe une place prépondérante en algèbre générale. Elle est également au cœur de plusieurs autres domaines des mathématiques : géométrie algébrique, théorie des nombres, groupes arithmétiques, cryptographie, théorie des modèles. L'ouvrage que lui consacre Patrice Tauvel comporte une étude exhaustive des extensions algébriques, et, ce qui est moins fréquent, des extensions transcendantes, ainsi qu'une remarquable initiation à la théorie de Galois différentielle. Les corps finis précèdent dans le texte la théorie de Galois classique et lui servent de motivation. Viennent ensuite les constructions par règle et compas et la résolution des équations par radicaux. Enfin, une attention toute particulière est accordée à la théorie des corps ordonnés. Le cours est illustré par plus de 200 exercices, choisis avec soin. Ce livre s'adresse aux étudiants en master de mathématiques, aux candidats à l'agrégation ainsi qu'aux enseignants et chercheurs. Patrice Tauvel a su rédiger, dans un style épuré et particulièrement rigoureux, un cours complet et brillant sur les corps, devenu dès sa première édition un ouvrage de référence.